線性代數(shù)要記住的結(jié)論
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lyh2006
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發(fā)表于 2010-08-21 19:27
樓主
線性代數(shù)要記住的結(jié)論
1、行列式 1. 行列式共有 個元素,展開后有 項,可分解為 行列式; 2. 代數(shù)余子式的性質(zhì): ①、 和 的大小無關; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0; ③、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為 ; 3. 代數(shù)余子式和余子式的關系: 4. 設 行列式 : 將 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn),所得行列式為 ,則 ; 將 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) ,所得行列式為 ,則 ; 將 主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置),所得行列式為 ,則 ; 將 主副角線翻轉(zhuǎn)后,所得行列式為 ,則 ; 5. 行列式的重要公式: ①、主對角行列式:主對角元素的乘積; ②、副對角行列式:副對角元素的乘積 ; ③、上、下三角行列式( ):主對角元素的乘積; ④、 和 :副對角元素的乘積 ; ⑤、拉普拉斯展開式: 、 ⑥、范德蒙行列式:大指標減小指標的連乘積; ⑦、特征值; 6. 對于 階行列式 ,恒有: ,其中 為 階主子式; 7. 證明 的方法: ①、 ; ②、反證法; ③、構造齊次方程組 ,證明其有非零解; ④、利用秩,證明 ; ⑤、證明0是其特征值; 2、矩陣 1. 是 階可逆矩陣: (是非奇異矩陣); (是滿秩矩陣) 的行(列)向量組線性無關; 齊次方程組 有非零解; , 總有唯一解; 與 等價; 可表示成若干個初等矩陣的乘積; 的特征值全不為0; 是正定矩陣; 的行(列)向量組是 的一組基; 是 中某兩組基的過渡矩陣; 2. 對于 階矩陣 : 無條件恒成立; 3. 4. 矩陣是表格,推導符號為波浪號或箭頭;行列式是數(shù)值,可求代數(shù)和; 5. 關于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均 、 可逆: 若 ,則: Ⅰ、 ; Ⅱ、 ; ②、 ;(主對角分塊) ③、 ;(副對角分塊) ④、 ;(拉普拉斯) ⑤、 ;(拉普拉斯) 3、矩陣的初等變換與線性方程組 1. 一個 矩陣 ,總可經(jīng)過初等變換化為標準形,其標準形是唯一確定的: ; 等價類:所有與 等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類;標準形為其形狀最簡單的矩陣; 對于同型矩陣 、 ,若 ; 2. 行最簡形矩陣: ①、只能通過初等行變換獲得; ②、每行首個非0元素必須為1; ③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0; 3. 初等行變換的應用:(初等列變換類似,或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換) ①、 若 ,則 可逆,且 ; ②、對矩陣 做初等行變化,當 變?yōu)?時, 就變成 ,即: ; ③、求解線形方程組:對于 個未知數(shù) 個方程 ,如果 ,則 可逆,且 ; 4. 初等矩陣和對角矩陣的概念: ①、初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定:左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣; ②、 ,左乘矩陣 , 乘 的各行元素;右乘, 乘 的各列元素; ③、對調(diào)兩行或兩列,符號 ,且 ,例如: ; ④、倍乘某行或某列,符號 ,且 ,例如: ; ⑤、倍加某行或某列,符號 ,且 ,如: ; 5. 矩陣秩的基本性質(zhì): ①、 ; ②、 ; ③、若 ,則 ; ④、若 、 可逆,則 ;(可逆矩陣不影響矩陣的秩) ⑤、 ;(※) ⑥、 ;(※) ⑦、 ;(※) ⑧、如果 是 矩陣, 是 矩陣,且 ,則:(※) Ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論); Ⅱ、 ⑨、若 、 均為 階方陣,則 ; 6. 三種特殊矩陣的方冪: ①、秩為1的矩陣:一定可以分解為列矩陣(向量) 行矩陣(向量)的形式,再采用結(jié)合律; ②、型如 的矩陣:利用二項展開式; 二項展開式: ; 注:Ⅰ、 展開后有 項; Ⅱ、 Ⅲ、組合的性質(zhì): ; ③、利用特征值和相似對角化: 7. 伴隨矩陣: ①、伴隨矩陣的秩: ; ②、伴隨矩陣的特征值: ; ③、 、 8. 關于 矩陣秩的描述: ①、 , 中有 階子式不為0, 階子式全部為0;(兩句話) ②、 , 中有 階子式全部為0; ③、 , 中有 階子式不為0; 9. 線性方程組: ,其中 為 矩陣,則: ①、 與方程的個數(shù)相同,即方程組 有 個方程; ②、 與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同,方程組 為 元方程; 10. 線性方程組 的求解: ①、對增廣矩陣 進行初等行變換(只能使用初等行變換); ②、齊次解為對應齊次方程組的解; ③、特解:自由變量賦初值后求得; 11. 由 個未知數(shù) 個方程的方程組構成 元線性方程: ①、 ; ②、 (向量方程, 為 矩陣, 個方程, 個未知數(shù)) ③、 (全部按列分塊,其中 ); ④、 (線性表出) ⑤、有解的充要條件: ( 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)) 4、向量組的線性相關性 1. 個 維列向量所組成的向量組 : 構成 矩陣 ; 個 維行向量所組成的向量組 : 構成 矩陣 ; 含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應; 2. ①、向量組的線性相關、無關 有、無非零解;(齊次線性方程組) ②、向量的線性表出 是否有解;(線性方程組) ③、向量組的相互線性表示 是否有解;(矩陣方程) 3. 矩陣 與 行向量組等價的充分必要條件是:齊次方程組 和 同解;( 例14) 4. ;( 例15) 5. 維向量線性相關的幾何意義: ①、 線性相關 ; ②、 線性相關 坐標成比例或共線(平行); ③、 線性相關 共面; 6. 線性相關與無關的兩套定理: 若 線性相關,則 必線性相關; 若 線性無關,則 必線性無關;(向量的個數(shù)加加減減,二者為對偶) 若 維向量組 的每個向量上添上 個分量,構成 維向量組 : 若 線性無關,則 也線性無關;反之若 線性相關,則 也線性相關;(向量組的維數(shù)加加減減) 簡言之:無關組延長后仍無關,反之,不確定; 7. 向量組 (個數(shù)為 )能由向量組 (個數(shù)為 )線性表示,且 線性無關,則 (二版 定理7); 向量組 能由向量組 線性表示,則 ;( 定理3) 向量組 能由向量組 線性表示 有解; ( 定理2) 向量組 能由向量組 等價 ( 定理2推論) 8. 方陣 可逆 存在有限個初等矩陣 ,使 ; ①、矩陣行等價: (左乘, 可逆) 與 同解 ②、矩陣列等價: (右乘, 可逆); ③、矩陣等價: ( 、 可逆); 9. 對于矩陣 與 : ①、若 與 行等價,則 與 的行秩相等; ②、若 與 行等價,則 與 同解,且 與 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性; ③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩; ④、矩陣 的行秩等于列秩; 10. 若 ,則: ①、 的列向量組能由 的列向量組線性表示, 為系數(shù)矩陣; ②、 的行向量組能由 的行向量組線性表示, 為系數(shù)矩陣;(轉(zhuǎn)置) 11. 齊次方程組 的解一定是 的解,考試中可以直接作為定理使用,而無需證明; ①、 只有零解 只有零解; ②、 有非零解 一定存在非零解; 12. 設向量組 可由向量組 線性表示為:( 題19結(jié)論) ( ) 其中 為 ,且 線性無關,則 組線性無關 ;( 與 的列向量組具有相同線性相關性) (必要性: ;充分性:反證法) 注:當 時, 為方陣,可當作定理使用; 13. ①、對矩陣 ,存在 , 、 的列向量線性無關;( ) ②、對矩陣 ,存在 , 、 的行向量線性無關; 14. 線性相關 存在一組不全為0的數(shù) ,使得 成立;(定義) 有非零解,即 有非零解; ,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù); 15. 設 的矩陣 的秩為 ,則 元齊次線性方程組 的解集 的秩為: ; 16. 若 為 的一個解, 為 的一個基礎解系,則 線性無關;( 題33結(jié)論) 5、相似矩陣和二次型 1. 正交矩陣 或 (定義),性質(zhì): ①、 的列向量都是單位向量,且兩兩正交,即 ; ②、若 為正交矩陣,則 也為正交陣,且 ; ③、若 、 正交陣,則 也是正交陣; 注意:求解正交陣,千萬不要忘記施密特正交化和單位化; 2. 施密特正交化: ; ; 3. 對于普通方陣,不同特征值對應的特征向量線性無關; 對于實對稱陣,不同特征值對應的特征向量正交; 4. ①、 與 等價 經(jīng)過初等變換得到 ; , 、 可逆; , 、 同型; ②、 與 合同 ,其中可逆; 與 有相同的正、負慣性指數(shù); ③、 與 相似 ; 5. 相似一定合同、合同未必相似; 若 為正交矩陣,則 ,(合同、相似的約束條件不同,相似的更嚴格); 6. 為對稱陣,則 為二次型矩陣; 7. 元二次型 為正定: 的正慣性指數(shù)為 ; 與 合同,即存在可逆矩陣 ,使 ; 的所有特征值均為正數(shù); 的各階順序主子式均大于0; ;(必要條件) |
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