線性代數(shù)要記住的結(jié)論
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lyh2006
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線性代數(shù)要記住的結(jié)論
1、行列式
1.         行列式共有 個元素,展開后有 項,可分解為 行列式;
2.        代數(shù)余子式的性質(zhì):
①、 和 的大小無關;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0;
③、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為 ;
3.        代數(shù)余子式和余子式的關系:
4.        設 行列式 :
將 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn),所得行列式為 ,則 ;
將 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) ,所得行列式為 ,則 ;
將 主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置),所得行列式為 ,則 ;
將 主副角線翻轉(zhuǎn)后,所得行列式為 ,則 ;
5.        行列式的重要公式:
①、主對角行列式:主對角元素的乘積;
②、副對角行列式:副對角元素的乘積 ;
③、上、下三角行列式( ):主對角元素的乘積;
④、 和 :副對角元素的乘積 ;
⑤、拉普拉斯展開式: 、
⑥、范德蒙行列式:大指標減小指標的連乘積;
⑦、特征值;
6.        對于 階行列式 ,恒有: ,其中 為 階主子式;
7.        證明 的方法:
①、 ;
②、反證法;
③、構造齊次方程組 ,證明其有非零解;
④、利用秩,證明 ;
⑤、證明0是其特征值;
2、矩陣
1.         是 階可逆矩陣:
  (是非奇異矩陣);
  (是滿秩矩陣)
  的行(列)向量組線性無關;
齊次方程組 有非零解;
  , 總有唯一解;
  與 等價;
  可表示成若干個初等矩陣的乘積;
  的特征值全不為0;
  是正定矩陣;
  的行(列)向量組是 的一組基;
  是 中某兩組基的過渡矩陣;
2.        對于 階矩陣 :  無條件恒成立;
3.         

4.        矩陣是表格,推導符號為波浪號或箭頭;行列式是數(shù)值,可求代數(shù)和;
5.        關于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均 、 可逆:
若 ,則:
Ⅰ、 ;
Ⅱ、 ;
②、 ;(主對角分塊)
③、 ;(副對角分塊)
④、 ;(拉普拉斯)
⑤、 ;(拉普拉斯)
3、矩陣的初等變換與線性方程組
1.        一個 矩陣 ,總可經(jīng)過初等變換化為標準形,其標準形是唯一確定的: ;
等價類:所有與 等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類;標準形為其形狀最簡單的矩陣;
對于同型矩陣 、 ,若 ;
2.        行最簡形矩陣:
①、只能通過初等行變換獲得;
②、每行首個非0元素必須為1;
③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;
3.        初等行變換的應用:(初等列變換類似,或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)
①、        若 ,則 可逆,且 ;
②、對矩陣 做初等行變化,當 變?yōu)?時, 就變成 ,即: ;
③、求解線形方程組:對于 個未知數(shù) 個方程 ,如果 ,則 可逆,且 ;
4.        初等矩陣和對角矩陣的概念:
①、初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定:左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;
②、 ,左乘矩陣 , 乘 的各行元素;右乘, 乘 的各列元素;
③、對調(diào)兩行或兩列,符號 ,且 ,例如: ;
④、倍乘某行或某列,符號 ,且 ,例如: ;
⑤、倍加某行或某列,符號 ,且 ,如: ;
5.        矩陣秩的基本性質(zhì):
①、 ;
②、 ;
③、若 ,則 ;
④、若 、 可逆,則 ;(可逆矩陣不影響矩陣的秩)
⑤、 ;(※)
⑥、 ;(※)
⑦、 ;(※)
⑧、如果 是 矩陣, 是 矩陣,且 ,則:(※)
        Ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論);
        Ⅱ、
⑨、若 、 均為 階方陣,則 ;
6.        三種特殊矩陣的方冪:
①、秩為1的矩陣:一定可以分解為列矩陣(向量) 行矩陣(向量)的形式,再采用結(jié)合律;
②、型如 的矩陣:利用二項展開式;
        二項展開式: ;
        注:Ⅰ、 展開后有 項;
Ⅱ、
Ⅲ、組合的性質(zhì): ;
③、利用特征值和相似對角化:
7.        伴隨矩陣:
①、伴隨矩陣的秩: ;
②、伴隨矩陣的特征值: ;
③、 、
8.        關于 矩陣秩的描述:
①、 , 中有 階子式不為0, 階子式全部為0;(兩句話)
②、 , 中有 階子式全部為0;
③、 , 中有 階子式不為0;
9.        線性方程組: ,其中 為 矩陣,則:
①、 與方程的個數(shù)相同,即方程組 有 個方程;
②、 與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同,方程組 為 元方程;
10.        線性方程組 的求解:
①、對增廣矩陣 進行初等行變換(只能使用初等行變換);
②、齊次解為對應齊次方程組的解;
③、特解:自由變量賦初值后求得;
11.        由 個未知數(shù) 個方程的方程組構成 元線性方程:
①、 ;
②、 (向量方程, 為 矩陣, 個方程, 個未知數(shù))
③、 (全部按列分塊,其中 );
④、 (線性表出)
⑤、有解的充要條件: ( 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù))
4、向量組的線性相關性
1.         個 維列向量所組成的向量組 : 構成 矩陣 ;
個 維行向量所組成的向量組 : 構成 矩陣 ;
含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應;
2.        ①、向量組的線性相關、無關         有、無非零解;(齊次線性方程組)
②、向量的線性表出                         是否有解;(線性方程組)
③、向量組的相互線性表示         是否有解;(矩陣方程)
3.        矩陣 與 行向量組等價的充分必要條件是:齊次方程組 和 同解;( 例14)
4.         ;( 例15)
5.         維向量線性相關的幾何意義:
①、 線性相關                  ;
②、 線性相關          坐標成比例或共線(平行);
③、 線性相關          共面;
6.        線性相關與無關的兩套定理:
若 線性相關,則 必線性相關;
若 線性無關,則 必線性無關;(向量的個數(shù)加加減減,二者為對偶)
若 維向量組 的每個向量上添上 個分量,構成 維向量組 :
若 線性無關,則 也線性無關;反之若 線性相關,則 也線性相關;(向量組的維數(shù)加加減減)
簡言之:無關組延長后仍無關,反之,不確定;
7.        向量組 (個數(shù)為 )能由向量組 (個數(shù)為 )線性表示,且 線性無關,則 (二版 定理7);
向量組 能由向量組 線性表示,則 ;( 定理3)
向量組 能由向量組 線性表示
有解;
                 ( 定理2)
        向量組 能由向量組 等價 ( 定理2推論)
8.        方陣 可逆 存在有限個初等矩陣 ,使 ;
①、矩陣行等價: (左乘, 可逆) 與 同解
②、矩陣列等價: (右乘, 可逆);
③、矩陣等價: ( 、 可逆);
9.        對于矩陣 與 :
①、若 與 行等價,則 與 的行秩相等;
②、若 與 行等價,則 與 同解,且 與 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性;
③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩;
④、矩陣 的行秩等于列秩;
10.        若 ,則:
①、 的列向量組能由 的列向量組線性表示, 為系數(shù)矩陣;
②、 的行向量組能由 的行向量組線性表示, 為系數(shù)矩陣;(轉(zhuǎn)置)
11.        齊次方程組 的解一定是 的解,考試中可以直接作為定理使用,而無需證明;
①、         只有零解 只有零解;
②、         有非零解 一定存在非零解;
12.        設向量組 可由向量組 線性表示為:( 題19結(jié)論)
( )
        其中 為 ,且 線性無關,則 組線性無關 ;( 與 的列向量組具有相同線性相關性)
(必要性: ;充分性:反證法)
        注:當 時, 為方陣,可當作定理使用;
13.        ①、對矩陣 ,存在 ,          、 的列向量線性無關;( )
②、對矩陣 ,存在 ,          、 的行向量線性無關;
14.         線性相關
存在一組不全為0的數(shù) ,使得 成立;(定義)
  有非零解,即 有非零解;
  ,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù);
15.        設 的矩陣 的秩為 ,則 元齊次線性方程組 的解集 的秩為: ;
16.        若 為 的一個解, 為 的一個基礎解系,則 線性無關;( 題33結(jié)論)
5、相似矩陣和二次型
1.        正交矩陣 或 (定義),性質(zhì):
①、 的列向量都是單位向量,且兩兩正交,即 ;
②、若 為正交矩陣,則 也為正交陣,且 ;
③、若 、 正交陣,則 也是正交陣;
        注意:求解正交陣,千萬不要忘記施密特正交化和單位化;
2.        施密特正交化:
;

         
         ;
3.        對于普通方陣,不同特征值對應的特征向量線性無關;
對于實對稱陣,不同特征值對應的特征向量正交;
4.        ①、 與 等價          經(jīng)過初等變換得到 ;
, 、 可逆;
, 、 同型;
②、 與 合同         ,其中可逆;
                                 與 有相同的正、負慣性指數(shù);
③、 與 相似         ;
5.        相似一定合同、合同未必相似;
若 為正交矩陣,則   ,(合同、相似的約束條件不同,相似的更嚴格);
6.         為對稱陣,則 為二次型矩陣;
7.         元二次型 為正定:
的正慣性指數(shù)為 ;
與 合同,即存在可逆矩陣 ,使 ;
的所有特征值均為正數(shù);
         的各階順序主子式均大于0;
         ;(必要條件)

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