考研數(shù)學(xué) - 話題

考研復(fù)習(xí)現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)入整理沖刺階段，這段時(shí)間大家應(yīng)把復(fù)習(xí)過的知識(shí)系統(tǒng)化綜合化，注意搞細(xì)搞透搞活，也可適當(dāng)做幾套模擬題，這既可查漏補(bǔ)缺也可兼代積累一點(diǎn)臨場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)。本文現(xiàn)針對(duì)線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，提如下建議供考生參考。

　　一、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

　　線性代數(shù)的概念很多，重要的有：

　　代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價(jià)（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

　　往年常有考生沒有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，也沒有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導(dǎo)致做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，矩陣A＝（α1，α2，……，αm）與B＝（β1，β2……，βm）等價(jià)，意味著經(jīng)過初等變換可由A得到B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩r（A）與r（B）是否相等，而向量組α1，α2，……αm與β1，β2，……βm等價(jià)，說明這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時(shí)，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價(jià)的信息，因此，由向量組α1，α2，……αm與β1，β2，……βm等價(jià)，可知矩陣A＝（α1，α2，……αm）與B＝（β1，β2，……βm）等價(jià)，但矩陣A與B等價(jià)并不能保證這兩個(gè)向量組等價(jià)。

　　又如，實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC＝B，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P－1AP＝B成立，進(jìn)而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同，但正負(fù)慣性指數(shù)相同時(shí)，并不能保證特征值相同，因此，實(shí)對(duì)稱矩陣A～B?A?B，即相似是合同的充分條件。

　　線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：

　　行列式（數(shù)字型、字母型）的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法），判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形）。

　　二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

　　線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對(duì)不對(duì)？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

　　例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB＝0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax＝0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n，進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)。

　　再如，若A是n階矩陣可以相似對(duì)角化，那么，用分塊矩陣處理P－1AP＝∧可知A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，P就是由A的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成，再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時(shí)若λi是ni重特征值，則齊次方程組（λiE－A）x＝0的基礎(chǔ)解系由ni個(gè)解向量組成，進(jìn)而可知秩r（λiE－A）＝n－ni，那么，如果A不能相似對(duì)角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r（λiE－A）＜n－ni，若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則因A必能相似對(duì)角化而知對(duì)每個(gè)特征值λi必有r（λiE－A）＝n－ni，此時(shí)還可以利用正交性通過正交矩陣來實(shí)現(xiàn)相似對(duì)角化。

　　又比如，對(duì)于n階行列式我們知道：若｜A｜＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解（可能有無窮多解，也可能無解），而當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；可用｜A｜證明矩陣A是否可逆，并在可逆時(shí)通過伴隨矩陣來求A－1；對(duì)于n個(gè)n維向量α1，α2，……αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2……αn｜是否為零來判斷向量組的線性相關(guān)性；矩陣A的秩r（A）是用A中非零子式的最高階數(shù)來定義的，若r（A）＜r，則A中r階子式全為0；求矩陣A的特征值，可以通過計(jì)算行列式｜λE－A｜，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式｜λ0E－A｜＝0；判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。

　　凡此種種，正是因?yàn)榫�性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

　　三、注重邏輯性與敘述表述

　　線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。

　　線性代數(shù)中常見的證明題型有：

　　證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，……αt的線性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2……，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質(zhì)，如對(duì)稱，可逆，正交，正定，可對(duì)角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解（亦即β能否由α1，α2……，αs線性表出）；對(duì)給出的兩個(gè)方程組論證其同解性或有無公共解；證二次型的正定性，規(guī)范形等。

　　總之，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在考試中取得好成績(jī)，一定要認(rèn)真仔細(xì)地復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。

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