考研數(shù)學(xué) - 話題

關(guān)于數(shù)學(xué)，特別是線性代數(shù)的復(fù)習(xí)備考，這里提出“早”、“綱”、“基”、“活”的四字方略，供理工類、經(jīng)濟(jì)類考生參考。

　　一、“早”。提倡一個(gè)“早”字，是提醒考生考研數(shù)學(xué)備考要早計(jì)劃、早安排、早動(dòng)手。因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門思維嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)、相對(duì)比較抽象的學(xué)科。和一些記憶性較多的學(xué)科不同，數(shù)學(xué)需要理解的概念多，方法又靈活多變，而理解概念，特別是理解比較抽象的概念是一個(gè)漸近的過(guò)程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要從不同的角度、不同的側(cè)面的深入研究，總之它需要時(shí)間，任何搞突擊，搞速成的思想不可取，這對(duì)大多數(shù)考生而言，不可能取得成功；另一方面，早計(jì)劃、早安排、早動(dòng)手是采取“笨鳥先飛”之策，這是考研的激烈競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)實(shí)所要求的，早一天準(zhǔn)備，多一分成績(jī)，多一份把握，現(xiàn)在不少大一、大二的在校生已經(jīng)在準(zhǔn)備2～3年后的考研，這似乎是早了點(diǎn)，但作為一個(gè)目標(biāo)、作為一個(gè)追求，無(wú)可非議。作為2001年的考生，從現(xiàn)在開始備考，恐怕已經(jīng)不算太早了。

　　二、“綱”。突出一個(gè)綱字，就是要認(rèn)真研究考試大綱，要根據(jù)考試大綱規(guī)定的考試內(nèi)容、考試要求、考試樣題有計(jì)劃地、認(rèn)真地、全面地、系統(tǒng)地復(fù)習(xí)備考，加強(qiáng)備考的針對(duì)性。

　　由于全國(guó)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教材（高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)）并不統(tǒng)一，各學(xué)校、各專業(yè)對(duì)這些課程要求的層次也各不相同，因此教育部并沒有指定統(tǒng)一的教材或參考書作為命題的依據(jù)，而是以教育部制定的《全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱》（下稱《大綱》）作為考試的法規(guī)性文件，命題以《大綱》為依據(jù)，考生備考復(fù)習(xí)當(dāng)然也應(yīng)以《大綱》為依據(jù)。

　　為了讓廣大考生對(duì)“考什么”有一定的了解（不是盲目的備考），教育部考試中心命制的試題，每年都具有穩(wěn)定性、連續(xù)性的特點(diǎn)。《大綱》提供的樣題及歷屆試題也在于讓考生了解“考什么”。歷屆試題中，從來(lái)沒有出過(guò)偏題、怪題，也沒有出過(guò)超過(guò)大綱范圍的超綱題。當(dāng)然，一份好的試題，首先要有好的區(qū)分度，使高水平考生考出好成績(jī)，因此試題中難、易試題要有恰當(dāng)?shù)拇钆�；試題的總量必須有一定的限制，同時(shí)試題還要有盡可能大的覆蓋面，因此一味地去做難題，甚至怪題、偏題是不可取的，“題海戰(zhàn)術(shù)”不能替代全面、系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，由于試題有極大的覆蓋面，每年試題幾乎都要覆蓋所有的章節(jié)，因此偏廢某部分內(nèi)容也是不恰當(dāng)?shù)摹Ｈ魏巍安骂}”及僥幸心理都會(huì)導(dǎo)致失敗。只有根據(jù)大綱，全面、系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，不留遺漏，才不會(huì)留下遺憾。

　　請(qǐng)廣大考生留意，今年《大綱》有一定的變化：所有的近似計(jì)算取消了，特別是數(shù)學(xué)試卷二，“線性代數(shù)初步”中取消了“初步”兩字，增考了“特征值、特征向量”一章的內(nèi)容。

　　三、“基”。強(qiáng)調(diào)一個(gè)“基”字，是指要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的三基，即要重視基本概念的理解，基本方法的掌握，基本運(yùn)算的熟練。

　　基本概念理解不透徹，對(duì)解題會(huì)帶來(lái)思維上的困難和混亂。因此對(duì)概念必須搞清它的內(nèi)涵，還要研究它的外延，要理解正面的含義，還要思考、理解概念的側(cè)面、反面。例如關(guān)于矩陣的秩，教材中的定義是：A是陰Xn矩陣，若A中有一個(gè)r階子式不為零，所有r階以上子式（如果它還有的話）均為零，則稱A的秩為r，記成rank（A）：r（或r（A）＝r，秩A＝r）。顯然，定義中內(nèi)涵的要點(diǎn)有：1.A中至少有一個(gè)r階子式不為零；2.所有r階以上均為零。3.若所有r+1子式都為零，則必有所有r階以上子式均為零。要點(diǎn)2和3是等價(jià)條件，至于r階子式是否可以為零？小于r階的子式是否可以為零？所有r-1階的子式是否可以全部為零？這些都是秩的概念的外延內(nèi)容，如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會(huì)迎刃而解。

　　例1設(shè)A是m×n矩陣，r（A）＝r＜min（m，n），則A中

　�。ˋ）至少有一個(gè)r階子式不為零，沒有等于零的r-1階子式。

　　（B）有不等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式。

　　（C）有等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式。

　�。―）任何r階子式不等于零，任何r+1階子式都等于零。

　　答案：（B）

　　基本方法要熟練掌握。熟練掌握不等于死記硬背，相反要抓問題的實(shí)質(zhì)，要在理解的基礎(chǔ)上適當(dāng)記憶。把需要記憶的東西縮小到最低限度，很多方法可以通過(guò)練習(xí)來(lái)記住，例如一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，一定存在正交矩陣，通過(guò)正交變換化為對(duì)角陣，其步驟較多，但通過(guò)練習(xí)，不難解決。

　　基本計(jì)算要熟練。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，離不開計(jì)算，計(jì)算要熟練，當(dāng)然要做一定數(shù)量的習(xí)題，通過(guò)一定數(shù)量的習(xí)題，把計(jì)算的基本功練扎實(shí)。在練習(xí)過(guò)程中，自覺的提高運(yùn)算能力，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng)。特別對(duì)線性代數(shù)而言，運(yùn)算并不復(fù)雜，大量的運(yùn)算是大家早已熟練了的加法和乘法，從而養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng)顯得尤為重要。例如線性代數(shù)的前四章中（行列式、矩陣、向量、方程組）絕大多數(shù)的運(yùn)算是初等變換。用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組（或矩陣）的秩、求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、求方程組的解等�？梢韵胂�，一旦初等變換過(guò)程中出現(xiàn)某個(gè)數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤，那你的答案將是什么樣的結(jié)果？從歷屆數(shù)學(xué)試題來(lái)看，每年需要通過(guò)計(jì)算得分的內(nèi)容均在70%左右，可見計(jì)算能力培養(yǎng)的重要。只聽（聽各種輔導(dǎo)班）不練，只看（看各類輔導(dǎo)資料）不練，眼高手低，專找難題做，這并不適合一般考生的情況，在歷屆考生中，不乏有教訓(xùn)慘痛的人。

　　四、“活”。線性代數(shù)中概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多，內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)通過(guò)全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論及應(yīng)用，熟悉符號(hào)的意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，抓規(guī)律，使零散的知識(shí)點(diǎn)串起來(lái)、連起來(lái)，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，實(shí)現(xiàn)一個(gè)“活”字。

　　線性代數(shù)各章節(jié)的內(nèi)容，不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯(lián)系的。如A是n階方陣，若，｜A｜≠0（稱A為非奇陣）。<=>A是可逆陣。<=>有n階方陣B，使得AB=BA=E.<=>B=A-1＝A*／｜A｜。<=>r（A）=n（稱A是滿秩陣）。<=>存在若干個(gè)初等陣P1，P2，…，PN，使得PNPN-1…P1A=E.<=>（A┆E）→（E┆A-1）。<=>A可表示成若干個(gè)可逆陣的乘積。<=>A可表示成若干個(gè)初等陣的積。<=>A的列向量組線性無(wú)關(guān)（列滿秩）。<=>AX=0，唯一零解。<=>A的行向量組線性無(wú)關(guān)（行滿秩）。<=>A的列（行）向量組是Rn空間的基。<=>任何n維列向量b均可由A的列向量線性表出（且表出法唯一）。<=>對(duì)任意的列向量b，方程組AX＝b有唯一解，且唯一解為A-1b<=>A沒有零特征值，即λi≠O，i＝1，2，…，n.<=A是正定陣（正交陣，…）。

　　這種知識(shí)間的相互聯(lián)系、滲透，給綜合命題創(chuàng)造了條件，同樣一個(gè)試題，可以從不同的角度有多種命制試題的方法。

　　例2 （2001年數(shù)學(xué)一第九題）設(shè)α1，α2，…，αs，是線性方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs也是AX=0的基礎(chǔ)解系。

　　解析本題的答題要點(diǎn)是：（1）對(duì)任意t1，t2，βi，i＝1，2，…，s仍是AX＝0的解；（2）對(duì)任意t1，t2，β1，β2，…，βs向量個(gè)數(shù)是s；（3）β1，β2，…，βs，線性無(wú)關(guān)<=>t1s+（一1）n+1t2s≠0.

　　滿足（1）、（2）、（3）時(shí)，即，t1s+（一1）n+1t2s一1）“≠0時(shí)，β1，β2，…，βs仍是AX＝0的基礎(chǔ)解系。

　　變式（1） （改變成線性相關(guān)性試題）

　　已知向量組α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+ t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs線性無(wú)關(guān)。

　　變式（2） （改變成向量組的秩的試題）

　　已知向量組α1，α2，…，αs的秩為s.β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+ t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，r（β1，β2，…，βs）＝s.

　　變式（3） （改變成等價(jià)向量組的試題）

　　已知α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs和α1，α2，…，αs是等價(jià)向量組。

　　變式（4） （改變成子空間的基的試題）

　　設(shè)y是Rn的子空間，α1，α2，…，αs是V的基，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs也是子空間V的基。

　　難道你不認(rèn)為以上的各種變式基本上是一樣的嗎？它們的答題要點(diǎn)是什么呢？

　　改變?cè)囶}難度，將向量個(gè)數(shù)s具體化，則成2001年數(shù)學(xué)試卷二第十二題。

　　變式（5）已知α1，α2，α3，α4，是線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，β3＝t1α3+t2α4，β4＝t1α4+t2α3，，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，β3，β4，也是AX＝0的基礎(chǔ)解系。

　　改變參數(shù)，你不是可以“隨心所欲”嗎？

　　變式（6）已知α1，α2，…，αs是AX＝0的基礎(chǔ)解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問α1，α2，…，αs，滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs也是AX＝0的基礎(chǔ)解系。

　　如果你體會(huì)不到以上各種變式實(shí)質(zhì)上是一樣的，那么你沒有學(xué)“活”線性代數(shù)，你的知識(shí)點(diǎn)還是孤立的。

　　由于知識(shí)間的緊密聯(lián)系和滲透，而綜合考試試題不再依附于某章、某節(jié)（依附于某章、某節(jié)后面的習(xí)題，實(shí)際上是給解題人提供了用該章、該節(jié)的內(nèi)容和方法解題的提示），這會(huì)給考生解題帶來(lái)困難。學(xué)“活”并非易事，需要經(jīng)�？偨Y(jié)，廣開思路。

　　例3已知A是n階正定陣，B是n階反對(duì)稱陣，證明A-B2是正定陣。

　　解析本題題目本身有提示性，已知的是正定陣，要證的也是正定陣，顯然屬于二次型中有關(guān)正定性的試題，具體解答如下。

　　B是反對(duì)稱陣，故BT＝-B.

　　任給X≠0，因A正定，故XTAX>O，又XT（一B2）X＝XTBTBX＝（BX）TBX≥0.

　　故有XT（A-B2）X＝XT（A+（-B）B）X＝XT（A+BTB）X＝XTAX+（BX）TBX>O.

　　所以A-B2是正定陣。

　　變式（1）已知A是n階正定陣，B是n階反對(duì)稱陣。證明A-B2是可逆陣。v這個(gè)變式要求證明A-B2可逆，但已知A正定。為了利用已知條件，還可以想到A-B2是否正定，即若證明了A-B2正定，自然也就證明了A-B2可逆。

　　變式（2）已知B是n階反對(duì)稱陣，E是n階單位陣，證明E-B2可逆。

　　這個(gè)變式中，隱去了A是正定陣的條件，而是給了一個(gè)具體的正定陣E，要求想到用證正定的角度來(lái)證E-B2可逆，難度就相當(dāng)大了，這需要經(jīng)驗(yàn)的積累和總結(jié)。

　　由于知識(shí)間的廣泛聯(lián)系和相互滲透，給不少題的一題多解創(chuàng)造了條件。你可以從各個(gè)不同的角度去研究試題，找到一個(gè)合適的切入點(diǎn)，從而最終找到問題的答案。

四川省省會(huì)城市是哪里？（答案為兩個(gè)字）

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