考研數(shù)學 - 話題

　關于數(shù)學，特別是線性代數(shù)的復習備考，這里提出早、綱、基、活的四字方略，供理工類、經(jīng)濟類考生參考．

　　一、早．提倡一個早字，是提醒考生考研數(shù)學備考要早計劃、早安排、早動手．因為數(shù)學是一門思維嚴謹、邏輯性強、相對比較抽象的學科．和一些記憶性較多的學科不同，數(shù)學需要理解的概念多，方法又靈活多變，而理解概念，特別是理解比較抽象的概念是一個漸近的過程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要從不同的角度、不同的側(cè)面的深入研究，總之它需要時間，任何搞突擊，搞速成的思想不可取，這對大多數(shù)考生而言，不可能取得成功；另一方面，早計劃、早安排、早動手是采取笨鳥先飛之策，這是考研的激烈競爭現(xiàn)實所要求的，早一天準備，多一分成績，多一份把握，現(xiàn)在不少大一、大二的在校生已經(jīng)在準備2～3年后的考研，這似乎是早了點，但作為一個目標、作為一個追求，無可非議．作為2001年的考生，從現(xiàn)在開始備考，恐怕已經(jīng)不算太早了．

　　二、綱．突出一個綱字，就是要認真研究考試大綱，要根據(jù)考試大綱規(guī)定的考試內(nèi)容、考試要求、考試樣題有計劃地、認真地、全面地、系統(tǒng)地復習備考，加強備考的針對性．

　　由于全國基礎數(shù)學教材(高等數(shù)學，線性代數(shù)，概率論和數(shù)理統(tǒng)計)并不統(tǒng)一，各學校、各專業(yè)對這些課程要求的層次也各不相同，因此教育部并沒有指定統(tǒng)一的教材或參考書作為命題的依據(jù)，而是以教育部制定的《全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學考試大綱》(下稱《大綱》)作為考試的法規(guī)性文件，命題以《大綱》為依據(jù)，考生備考復習當然也應以《大綱》為依據(jù)．

　　為了讓廣大考生對考什么有一定的了解(不是盲目的備考)，教育部考試中心命制的試題，每年都具有穩(wěn)定性、連續(xù)性的特點．《大綱》提供的樣題及歷屆試題也在于讓考生了解考什么．歷屆試題中，從來沒有出過偏題、怪題，也沒有出過超過大綱范圍的超綱題．當然，一份好的試題，首先要有好的區(qū)分度，使高水平考生考出好成績，因此試題中難、易試題要有恰當?shù)拇钆�；試題的總量必須有一定的限制，同時試題還要有盡可能大的覆蓋面，因此一味地去做難題，甚至怪題、偏題是不可取的，題海戰(zhàn)術不能替代全面、系統(tǒng)的復習，由于試題有極大的覆蓋面，每年試題幾乎都要覆蓋所有的章節(jié)，因此偏廢某部分內(nèi)容也是不恰當?shù)模�任何猜題及僥幸心理都會導致失敗．只有根據(jù)大綱，全面、系統(tǒng)地復習，不留遺漏，才不會留下遺憾．

　　請廣大考生留意，今年《大綱》有一定的變化：所有的近似計算取消了，特別是數(shù)學試卷二，線性代數(shù)初步中取消了初步兩字，增考了特征值、特征向量一章的內(nèi)容．

　　三、基．強調(diào)一個基字，是指要強調(diào)數(shù)學學習中的三基，即要重視基本概念的理解，基本方法的掌握，基本運算的熟練．

　　基本概念理解不透徹，對解題會帶來思維上的困難和混亂．因此對概念必須搞清它的內(nèi)涵，還要研究它的外延，要理解正面的含義，還要思考、理解概念的側(cè)面、反面．例如關于矩陣的秩，教材中的定義是：A是陰Xn矩陣，若A中有一個r階子式不為零，所有r階以上子式(如果它還有的話)均為零，則稱A的秩為r，記成rank(A)：r(或r(A)＝r，秩A＝r)．顯然，定義中內(nèi)涵的要點有：1．A中至少有一個r階子式不為零；2．所有r階以上均為零．3．若所有r+1子式都為零，則必有所有r階以上子式均為零．要點2和3是等價條件，至于r階子式是否可以為零？小于r階的子式是否可以為零?所有r-1階的子式是否可以全部為零？這些都是秩的概念的外延內(nèi)容，如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會迎刃而解．

　　例1 設A是m×n矩陣，r(A)＝r

　　(B)有不等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式．

　　(C)有等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式．

　　(D)任何r階子式不等于零，任何r+1階子式都等于零．

　　答案：(B)

　　基本方法要熟練掌握．熟練掌握不等于死記硬背，相反要抓問題的實質(zhì)，要在理解的基礎上適當記憶．把需要記憶的東西縮小到最低限度，很多方法可以通過練習來記住，例如一個實對稱矩陣，一定存在正交矩陣，通過正交變換化為對角陣，其步驟較多，但通過練習，不難解決．

　　基本計算要熟練．學習數(shù)學，離不開計算，計算要熟練，當然要做一定數(shù)量的習題，通過一定數(shù)量的習題，把計算的基本功練扎實．在練習過程中，自覺的提高運算能力，提高運算的準確性，養(yǎng)成良好的運算習慣和科學作風．特別對線性代數(shù)而言，運算并不復雜，大量的運算是大家早已熟練了的加法和乘法，從而養(yǎng)成良好的運算習慣和科學作風顯得尤為重要。例如線性代數(shù)的前四章中(行列式、矩陣、向量、方程組)絕大多數(shù)的運算是初等變換．用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組(或矩陣)的秩、求向量組的極大線性無關組、求方程組的解等．可以想象，一旦初等變換過程中出現(xiàn)某個數(shù)值計算錯誤，那你的答案將是什么樣的結(jié)果？從歷屆數(shù)學試題來看，每年需要通過計算得分的內(nèi)容均在70%左右，可見計算能力培養(yǎng)的重要．只聽(聽各種輔導班)不練，只看(看各類輔導資料)不練，眼高手低，專找難題做，這并不適合一般考生的情況，在歷屆考生中，不乏有教訓慘痛的人．

　　四、活．線性代數(shù)中概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多，內(nèi)容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點，故考生應通過全面系統(tǒng)的復習，充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論及應用，熟悉符號的意義，掌握各種運算規(guī)律、計算方法，并及時進行總結(jié)，抓聯(lián)系，抓規(guī)律，使零散的知識點串起來、連起來，使所學知識融會貫通，實現(xiàn)一個活字．

　　線性代數(shù)各章節(jié)的內(nèi)容，不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯(lián)系的．如A是n階方陣，若，｜A｜≠0(稱A為非奇陣)．<=>A是可逆陣．<=>有n階方陣B，使得AB=BA=E．<=>B=A-1＝A*／｜A｜．<=>r(A)=n(稱A是滿秩陣)．<=>存在若干個初等陣P1，P2，…，PN，使得PNPN-1…P1A=E．<=>(A┆E)→(E┆A-1)．<=>A可表示成若干個可逆陣的乘積．<=>A可表示成若干個初等陣的積。<=>A的列向量組線性無關(列滿秩)．<=>AX=0，唯一零解．<=>A的行向量組線性無關(行滿秩)．<=>A的列(行)向量組是Rn空間的基．<=>任何n維列向量b均可由A的列向量線性表出(且表出法唯一)．<=>對任意的列向量b，方程組AX＝b有唯一解，且唯一解為A-1b<=>A沒有零特征值，即λi≠O，i＝1，2，…，n．<=A是正定陣(正交陣，…)． 這種知識間的相互聯(lián)系、滲透，給綜合命題創(chuàng)造了條件，同樣一個試題，可以從不同的角度有多種命制試題的方法．

　　例2 (2001年數(shù)學一第九題)設α1，α2，…，αs，是線性方程組AX＝0的基礎解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是AX=0的基礎解系．

　　解析 本題的答題要點是：(1)對任意t1，t2，βi，i＝1，2，…，s仍是AX＝0的解；(2)對任意t1，t2，β1，β2，…，βs向量個數(shù)是s；(3)β1，β2，…，βs，線性無關<=>t1s+(一1)n+1t2s≠0． 滿足(1)、(2)、(3)時，即，t1s+(一1)n+1t2s一1)≠0時，β1，β2，…，βs仍是AX＝0的基礎解系．

　　變式(1) (改變成線性相關性試題)

　　已知向量組α1，α2，…，αs線性無關，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+ t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs線性無關．

　　變式(2) (改變成向量組的秩的試題)

　　已知向量組α1，α2，…，αs的秩為s．β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+ t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，r(β1，β2，…，βs)＝s．

　　變式(3) (改變成等價向量組的試題)

　　已知α1，α2，…，αs線性無關，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs和α1，α2，…，αs是等價向量組．

　　變式(4) (改變成子空間的基的試題)

　　設y是Rn的子空間，α1，α2，…，αs是V的基，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是子空間V的基．

　　難道你不認為以上的各種變式基本上是一樣的嗎?它們的答題要點是什么呢?

　　改變試題難度，將向量個數(shù)s具體化，則成2001年數(shù)學試卷二第十二題．

　　變式(5) 已知α1，α2，α3，α4，是線性方程組AX=0的基礎解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，β3＝t1α3+t2α4，β4＝t1α4+t2α3，，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，β3，β4，也是AX＝0的基礎解系．

　　改變參數(shù)，你不是可以隨心所欲嗎?

　　變式(6) 已知α1，α2，…，αs是AX＝0的基礎解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，試問α1，α2，…，αs，滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是AX＝0的基礎解系．

　　如果你體會不到以上各種變式實質(zhì)上是一樣的，那么你沒有學活線性代數(shù)，你的知識點還是孤立的．

　　由于知識間的緊密聯(lián)系和滲透，而綜合考試試題不再依附于某章、某節(jié)(依附于某章、某節(jié)后面的習題，實際上是給解題人提供了用該章、該節(jié)的內(nèi)容和方法解題的提示)，這會給考生解題帶來困難．學活并非易事，需要經(jīng)�？偨Y(jié)，廣開思路．

　　例3 已知A是n階正定陣，B是n階反對稱陣，證明A-B2是正定陣．

　　解析 本題題目本身有提示性，已知的是正定陣，要證的也是正定陣，顯然屬于二次型中有關正定性的試題，具體解答如下．

　　B是反對稱陣，故BT＝-B．

　　任給X≠0，因A正定，故XTAX>O，又XT(一B2)X＝XTBTBX＝(BX)TBX≥0．

　　故有XT(A-B2)X＝XT(A+(-B)B)X＝XT(A+BTB)X＝XTAX+(BX)TBX>O．

　　所以A-B2是正定陣．

　　變式(1) 已知A是n階正定陣，B是n階反對稱陣．證明A-B2是可逆陣．v這個變式要求證明A-B2可逆，但已知A正定．為了利用已知條件，還可以想到A-B2是否正定，即若證明了A-B2正定，自然也就證明了A-B2可逆．

　　變式(2) 已知B是n階反對稱陣，E是n階單位陣，證明E-B2可逆．

　　這個變式中，隱去了A是正定陣的條件，而是給了一個具體的正定陣E，要求想到用證正定的角度來證E-B2可逆，難度就相當大了，這需要經(jīng)驗的積累和總結(jié)．

　　由于知識間的廣泛聯(lián)系和相互滲透，給不少題的一題多解創(chuàng)造了條件．你可以從各個不同的角度去研究試題，找到一個合適的切入點，從而最終找到問題的答案．

　　總之，重視三基，重視各章節(jié)之間的聯(lián)系，重視從多角度研究試題，重視靈活性和綜合性，重視應用，是取得理想成績的必由之路。

　　其實偶個人認為，在高數(shù)、線代、概率這三部分當中，線代是最簡單的了，也不像高數(shù)那么靈活多變，只要掌握了基本知識，多作些題，再細心一些，這部分拿高分很容易。

武漢是哪個省的省會城市（答案為兩個字）？

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