考研數(shù)學(xué)學(xué)不會(huì)，要如何逆轉(zhuǎn)？

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• 2025考研復(fù)試標(biāo)準(zhǔn)班
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• 26考研全科上岸規(guī)劃營(yíng)「擇校▪規(guī)劃▪備考」
• 2025考研專(zhuān)業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫(kù)」

考研數(shù)學(xué)作為一門(mén)抽象類(lèi)的學(xué)科，學(xué)起來(lái)往往是一知半解，久而久之考生就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)這一學(xué)科喪失信心。數(shù)學(xué)學(xué)不會(huì)，對(duì)考研初試中必考數(shù)學(xué)的同學(xué)是一大禁忌。關(guān)于數(shù)學(xué)，我們總是在機(jī)械的階梯，卻從未深入研究過(guò)，數(shù)學(xué)考察的是什么?也難怪你總是得不到考研數(shù)學(xué)的青睞了。

►我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程及遇到的困難

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，到底會(huì)遇到什么樣的困難?以下是小編根據(jù)大家的評(píng)論總結(jié)的：

1.數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象，看不懂。

2.知識(shí)點(diǎn)太多，記不住。

3.題目太難，遇到難題不會(huì)做。

4.找不到人討論，太枯燥。

因?yàn)榇髮W(xué)的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，不像高中，大家都學(xué)一樣的東西，然后按照同樣的節(jié)奏在走，所以遇到同樣的學(xué)科，還能討論一下�？墒谴髮W(xué)呢，找人討論都很困難，各忙各的，所以就顯得這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程很枯燥。

5.時(shí)間太短，壓力大。

怎么時(shí)間太短了呢?從現(xiàn)在到考研只剩6個(gè)月時(shí)間，而這6個(gè)月也不是全部都給了數(shù)學(xué)，還有許多其他科目。其實(shí)計(jì)算下來(lái)也就沒(méi)有多久了。

有個(gè)朋友說(shuō)，“眼睜睜看著老師把一道全是英文和希臘字母的題，最后解出的答案竟然是阿拉伯?dāng)?shù)字，直到現(xiàn)在還費(fèi)解。”這些實(shí)際上是指高等數(shù)學(xué)比較抽象。

►數(shù)學(xué)到底是什么?

要讀懂高等數(shù)學(xué)，我們必然會(huì)問(wèn)這樣一個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)究竟是什么?以高等數(shù)學(xué)為例，大家在網(wǎng)上常常會(huì)看到這樣的所謂知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。

在這副圖里面，把高等數(shù)學(xué)比喻成一棵大樹(shù)，函數(shù)是這棵大樹(shù)的根，我們高中的數(shù)學(xué)里面都已經(jīng)學(xué)過(guò)了，如反函數(shù)、奇偶函數(shù)的奇偶性、初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等等;然后這棵大樹(shù)的主干是函數(shù)的極限，也就是我們高等數(shù)學(xué)的第一章，函數(shù)的極限。

在左邊，函數(shù)的極限生長(zhǎng)出一個(gè)大的分支，叫做導(dǎo)數(shù)與微分。導(dǎo)數(shù)與微分首先涉及到中值定理，微分中值定理和中值定理的應(yīng)用。然后它又導(dǎo)向了第二個(gè)分支，多元函數(shù)的微分學(xué)，而函數(shù)的極限又引出了另外一個(gè)大的分支，叫做不定積分，不定積分一方面，引向定積分與定積分的應(yīng)用，另一方面又引向了常微分方程。這不是思維導(dǎo)圖做的，這就是直接在這棵大樹(shù)上面加上去的一些，用PPT就可以做出來(lái)。

像這樣的圖像對(duì)大家把握一門(mén)知識(shí)是有利的，但這樣的圖片也會(huì)造成一個(gè)誤導(dǎo)。導(dǎo)致我們把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識(shí)來(lái)看待。因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大的困難和障礙。因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一個(gè)誤區(qū)就出現(xiàn)了：把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識(shí)來(lái)看待。

我們看看大數(shù)學(xué)家們是怎么看數(shù)學(xué)的。

比如這本書(shū)叫做《什么是數(shù)學(xué)》，副標(biāo)題是“對(duì)思想和方法的基本研究”，它的作者是柯朗�？吕适�20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，美國(guó)有一個(gè)世界聞名的柯朗研究所。很多大科學(xué)家對(duì)這本書(shū)有高度的贊譽(yù)，比如愛(ài)因斯坦說(shuō)，“本書(shū)是對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本概念及方法的透徹清晰的闡述”;愛(ài)因斯坦的好朋友，韋爾是20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，他稱(chēng)贊，“這是一本非常完美的著作，被數(shù)學(xué)家們視作科學(xué)的鮮血的一切基本思路和方法。在《什么是數(shù)學(xué)》這本書(shū)中，用最簡(jiǎn)單的例子，使之清晰明了，已經(jīng)達(dá)到了令人驚訝的程度”。

看到愛(ài)因斯坦和韋爾評(píng)價(jià)這本書(shū)的話(huà)，我們都很想去讀一讀這本書(shū)究竟在講什么，但是如果大家去看這本書(shū)，多數(shù)人會(huì)感到失望。

為什么會(huì)失望呢?是因?yàn)檫@本書(shū)里面進(jìn)的東西，我們看起來(lái)似乎很簡(jiǎn)單，比我們教科書(shū)的內(nèi)容還要簡(jiǎn)單一些。那為什么這樣一本書(shū)會(huì)受到如此高度的贊譽(yù)?實(shí)際上這本書(shū)看似內(nèi)容并不復(fù)雜，但是它卻告訴了我們一件事，那就是數(shù)學(xué)究竟是什么?它的答案就是：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維技能!

我們看一看，高等數(shù)學(xué)的所有部分都貫穿著同樣的思維結(jié)構(gòu)。

►這個(gè)思維結(jié)構(gòu)是什么?

就是從問(wèn)題引入定義，這個(gè)定義一般會(huì)對(duì)應(yīng)著幾何直觀(guān);然后定義又引入定義的性質(zhì)，比如導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，極限的性質(zhì)等，另外，定義包含著運(yùn)算，比如導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)的定義直接就可以推出運(yùn)算法則。然后從定義和運(yùn)算法則和性質(zhì)，會(huì)推出一系列的定理，這些定理在各個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)情形中進(jìn)行應(yīng)用，乃至應(yīng)用于其他的領(lǐng)域，包括物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物學(xué)等等。

這里關(guān)鍵在于所有的數(shù)學(xué)分支都是這么同樣的一個(gè)結(jié)構(gòu)，幾乎是完全相同的，大家看看這個(gè)說(shuō)法是不是有道理，大家回憶一下，是不是高數(shù)的所有分支都是這樣一個(gè)同樣的結(jié)構(gòu)。

如果我們把高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)當(dāng)做思維技能來(lái)看待，我們立即能回答很多問(wèn)題，比如說(shuō)為什么平時(shí)做題不錯(cuò)，而考研成績(jī)卻不佳，其實(shí)最重要的原因是把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識(shí)來(lái)學(xué)，因?yàn)榭佳械臅r(shí)候，就它不會(huì)考同樣的題目。題型還會(huì)變動(dòng)，我們的記憶是會(huì)波動(dòng)的，如果我們著眼于這個(gè)思維技能，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，技能比知識(shí)的記憶要穩(wěn)定得多，技能比知識(shí)的記憶要快得多，技能往往是一種自動(dòng)化的東西，而知識(shí)需要想半天。

我們從一個(gè)正面的例子來(lái)看，有一位考生，他在考研過(guò)程中感冒，前兩科就感冒，考到數(shù)學(xué)的時(shí)候還感冒，結(jié)果他數(shù)學(xué)還是考了143分，考的是數(shù)學(xué)一，他用的參考書(shū)全是2013版的，本來(lái)是2014年考研，應(yīng)該用2014年版的參考書(shū)，但是他用的2013版的。為什么他能夠做到這一點(diǎn)，實(shí)際上數(shù)學(xué)在他大腦中，變成了這個(gè)思維的技能。

可能很多人仍然不理解：數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)的思維技能究竟有什么差別?

舉一個(gè)例子，看過(guò)一萬(wàn)遍鋼琴譜的人會(huì)彈鋼琴嗎?甚至彈過(guò)一萬(wàn)遍1234567的人，能彈好曲子嗎?顯然不一定啊。所以當(dāng)我們?nèi)�學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候，我們看許多遍書(shū)，不一定有效。看許多遍視頻，也不一定有效，即便是練過(guò)許多題目，也不一定有效，因?yàn)檫@么做的人多了，考的成績(jī)不理想的。這么做的人，考的成績(jī)不理想的人，比比皆是。

那么什么才是核心?什么才是關(guān)鍵?

最核心的是訓(xùn)練數(shù)學(xué)的思維。

►數(shù)學(xué)思維

當(dāng)我們看書(shū)的時(shí)候，當(dāng)我們看視頻的時(shí)候，當(dāng)我們練習(xí)題目的時(shí)候，如果我們關(guān)注的是如何訓(xùn)練自己的數(shù)學(xué)思維，這樣才會(huì)產(chǎn)生效果。這種訓(xùn)練會(huì)訓(xùn)練出一種思維技能，數(shù)學(xué)的思維技能，而這種技能是貫穿于數(shù)學(xué)的所有分支，所有部分的。

這種技能甚至還可以遷移到其他領(lǐng)域，如果我們把數(shù)學(xué)看作思維技能的話(huà)，立刻可以理解為什么數(shù)學(xué)成績(jī)很突出的人，反而不去記很多東西?就像我剛才講的那位師弟，在黑板上出一道積分的題目，我們來(lái)出題，我們?cè)谀怯懻�，他站在�?0秒鐘直接報(bào)了個(gè)答案。他就是這種類(lèi)型的人，他不會(huì)記很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，但他卻能迅速解題。為什么?因?yàn)樗麄儽匾�的時(shí)候可以推導(dǎo)出來(lái)，把公式推導(dǎo)出來(lái)，這些知識(shí)在他們大腦中是一個(gè)有機(jī)的記憶，甚至是自動(dòng)化的。

數(shù)學(xué)思維的精髓究竟是什么?

愛(ài)因斯坦在《物理學(xué)的進(jìn)化》開(kāi)篇就講，“提出一個(gè)問(wèn)題，往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題，也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧，而提出新的問(wèn)題，新的可能性，從新的角度看舊問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”

這段話(huà)用來(lái)描述我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，同樣恰當(dāng)。可以這么說(shuō)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)歷程中，提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題，也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上的技巧，而提出新的問(wèn)題，新的可能性，從新的角度看舊問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正進(jìn)步。

►數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的九個(gè)境界

數(shù)學(xué)精深訓(xùn)練有九個(gè)臺(tái)階。

第一個(gè)臺(tái)階是能看懂。

第二個(gè)臺(tái)階是能記住;

第三個(gè)臺(tái)階是會(huì)解題;

什么是能看懂?能看懂，就是能夠懂得數(shù)學(xué)定義，定理，公式的來(lái)龍去脈。一看到這個(gè)定理、公式，腦子里面盤(pán)旋的一些問(wèn)題，我們一一找到答案，我們要從內(nèi)心里面去回答，那么找到的答案越多，做出來(lái)的問(wèn)答越多，我們就懂得的越多，這就是能看懂的含義。

往往是這一步，使得很多人難以入門(mén)，一旦我們做到這一點(diǎn)的話(huà)，我們馬上就邁上了第一個(gè)臺(tái)階，邁上第一個(gè)臺(tái)階之后，能記住會(huì)解題，只要我們把那些最基本的東西給做出來(lái)，做一遍，親自動(dòng)手去算一遍，那么我們馬上就會(huì)跨過(guò)第二個(gè)、第三個(gè)臺(tái)階。

這樣的話(huà)，考一個(gè)及格的分?jǐn)?shù)就不成問(wèn)題了。有不少人把高數(shù)的考研目標(biāo)定為90分，實(shí)際上做完剛才所說(shuō)的這些，每一章，每一節(jié)都這么去做的話(huà)，考90分根本不成問(wèn)題。

第四個(gè)臺(tái)階是熟練解題;

在解題的過(guò)程中不斷地進(jìn)行這樣的有意識(shí)的思維操作的訓(xùn)練，那么熟練解題也為之不遠(yuǎn)了。

第五個(gè)臺(tái)階是會(huì)梳理;

什么是會(huì)梳理?剛才已經(jīng)給大家分享了數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)是什么?每一章都在重復(fù)同樣的基本結(jié)構(gòu)，把那些知識(shí)點(diǎn)都給匯總到這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)里面，就是會(huì)梳理。包括我們每一章都在用什么樣的運(yùn)算技巧?大家心里面有沒(méi)有數(shù)，這一章我們會(huì)用到什么，什么樣的運(yùn)算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、8，這么列出來(lái)，一是一、二是二的列出來(lái)，如果這么做了，那肯定是會(huì)梳理了。

第六個(gè)臺(tái)階是融會(huì)貫通;

什么是融會(huì)貫通?比如導(dǎo)數(shù)，是從什么問(wèn)題引入的?導(dǎo)數(shù)的定義，它的嚴(yán)格的定義是什么?它對(duì)應(yīng)的幾何直觀(guān)是什么?導(dǎo)數(shù)怎么推出導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則?導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)算法則又有什么用?能解什么樣的題目?如果我們一步步這么做下來(lái)的話(huà)，那就是融會(huì)貫通了，對(duì)這一章，這一節(jié)融匯貫通了。

第七個(gè)臺(tái)階是把握數(shù)學(xué)思維;

什么是把握數(shù)學(xué)思維?所謂的數(shù)學(xué)思維就是一個(gè)一個(gè)的基本的思維操作，像加、減、乘、除法，各種類(lèi)型的加、減、乘、除法，像加一項(xiàng)、減一項(xiàng)，像它的定義，為什么會(huì)有這樣的定義?它的問(wèn)題是什么?這個(gè)定義能解決什么問(wèn)題?當(dāng)我們提這些問(wèn)題，去找它的答案的時(shí)候，按照這樣的思維去訓(xùn)練的時(shí)候，我們就把握數(shù)學(xué)思維了。

第八個(gè)臺(tái)階是體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣;

一旦我們做到前面這幾步的話(huà)，那數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)自然就有樂(lè)趣，設(shè)想一下，我們面對(duì)一塊黑板或者一張白紙，我們從導(dǎo)數(shù)的定義開(kāi)始做起，一下就把這一套全都寫(xiě)下來(lái)了，不用看參考書(shū)，從導(dǎo)數(shù)的定義一直推出這個(gè)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，解出一些基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后解出更復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這里面能沒(méi)有樂(lè)趣嗎?當(dāng)然有樂(lè)趣了。而且我們回答了心中的一個(gè)又一個(gè)的問(wèn)題，而這些問(wèn)題呢，它不但可以提高成績(jī)，還可以跟其他人來(lái)交流，給其他人帶來(lái)啟發(fā)。

第九個(gè)臺(tái)階是能夠投入，忘我的學(xué)習(xí)。

達(dá)到第八個(gè)臺(tái)階就很容易到達(dá)第九個(gè)臺(tái)階了，就是樂(lè)此不疲，我們稱(chēng)之為心流，flow。我們這樣子學(xué)習(xí)三個(gè)小時(shí)的數(shù)學(xué)，感覺(jué)時(shí)間才過(guò)了半個(gè)小時(shí)一樣。

四、五、六、這個(gè)臺(tái)階邁上去，那么我們數(shù)學(xué)考個(gè)優(yōu)秀的成績(jī)，考個(gè)120分，就不是問(wèn)題了，如果我們到達(dá)了這七、八、九，這三個(gè)境界，那么考更高的成績(jī)，像我剛才那個(gè)師弟講的，考130分，140多分，那就是完全有可能的了，因?yàn)槟愣加X(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都不是負(fù)擔(dān)了，不是障礙了，不是痛苦而是享受了，解道難題會(huì)帶來(lái)巨大的樂(lè)趣啊。

►讀不懂?dāng)?shù)學(xué)怎么辦?

1.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必定需要扎實(shí)的基本功，這個(gè)基本功是什么?

就是剛才講的那個(gè)基本的思維技能，但可惜的是許多人不曾掌握這個(gè)思維技能，甚至都沒(méi)有意識(shí)到，我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)的過(guò)程中，在不斷進(jìn)行同樣的思維操作，那個(gè)思維操作就是：基本的問(wèn)答，不斷在做問(wèn)答，不斷地在做加、減、乘、除法，不斷地在從問(wèn)題到定義，到定義的性質(zhì)，到運(yùn)算法則，到定理，到定理的應(yīng)用去解題目，不斷地在進(jìn)行這樣的或大或小的思維操作，這些思維操作，就是數(shù)學(xué)思維的基本的技能，也就是我們學(xué)數(shù)學(xué)的基本功。

2.任何技能的學(xué)習(xí)，任何技能的掌握，必定是先慢后快

著名數(shù)學(xué)家小平邦彥，在一開(kāi)始讀不懂?dāng)?shù)學(xué)時(shí)，選擇了抄書(shū)，他把一整本書(shū)完完整整的抄了一遍。但如果他一本本地去抄，當(dāng)?shù)珨?shù)學(xué)的文獻(xiàn)浩如煙海，經(jīng)典著作多得不得了，他如果都是這么慢慢的抄的話(huà)，那得抄到何年何月?正因?yàn)樗�抄的過(guò)程中，他不斷地去熟悉和訓(xùn)練自己的思維技能，任何數(shù)學(xué)分支都有同樣的結(jié)構(gòu)，一旦熟悉這個(gè)技能，那就熟能生巧了。

反之，一旦我們前面的東西沒(méi)掌握，認(rèn)為它很簡(jiǎn)單，認(rèn)為它很顯然，認(rèn)為它不值得一做，很可能在遇到那個(gè)考研題目的時(shí)候，我們都沒(méi)有解題思路，甚至有解題思路，我們做不對(duì)，做不出來(lái)，

3.不要糾結(jié)于有沒(méi)有天資，除非努力過(guò)。

即便是數(shù)學(xué)家，他們學(xué)數(shù)學(xué)的初期，仍然遇到很大的困難，我們?cè)趯W(xué)高數(shù)的過(guò)程中，遇到困難的時(shí)候，看不懂的時(shí)候，題目做不出來(lái)的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)自我懷疑，是不是我數(shù)學(xué)真的就不行啊?我沒(méi)有數(shù)學(xué)思維啊?

不是，不是那樣子的。認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的研究表明，我們天生下來(lái)就有數(shù)學(xué)思維。嚴(yán)格的論證，之后跟大家來(lái)分享一下。不要再糾結(jié)這個(gè)問(wèn)題了，除非我們努力過(guò)。連這樣的數(shù)學(xué)家都做過(guò)這樣的努力，那我們，我們問(wèn)問(wèn)自己，我們有沒(méi)有做過(guò)這個(gè)與之相，相當(dāng)?shù)倪@個(gè)努力。

4.“如果世界上有奇跡，那只不過(guò)是努力的代名詞”

我們能解一道題目，中等難度的題目，只不過(guò)是由那些基本的知識(shí)點(diǎn)，那些基本的思維操作所導(dǎo)出來(lái)的。一道更難的題目也是一樣的，我們解了一道很難的題目，會(huì)感到驕傲，感到是個(gè)奇跡，那只不過(guò)是我們以前以往點(diǎn)點(diǎn)滴滴的努力累積出來(lái)的，就是像積分一樣，一點(diǎn)一點(diǎn)的積累出來(lái)的。

5.沒(méi)有絕對(duì)懂與不懂，關(guān)鍵是我今天有沒(méi)有懂得更多。

我今天懂了多少，我今天究竟懂了什么?我今天找到了哪些問(wèn)題的答案，這是關(guān)鍵。包括我們?cè)谧鲆坏李}目的時(shí)候，我做錯(cuò)了，做錯(cuò)的話(huà)，我有什么收獲?我做對(duì)了，也要問(wèn)自己究竟收獲了多少?一是一，二是二，三是三，我們有沒(méi)有這么去做?這樣做非常關(guān)鍵。