2019考研數(shù)學(xué)：從等差數(shù)列和等比數(shù)列出發(fā)解決級數(shù)問題

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等差數(shù)列?等比數(shù)列?似乎是高中數(shù)學(xué)的重點，怎么高等數(shù)學(xué)也有這個知識點呢，那你可要反思一下自己了，等差等比數(shù)列在級數(shù)方面都是有很大用處的，今天就帶你學(xué)習(xí)一下久違的等差、等比數(shù)列!

1、等差數(shù)列

Sn=n(a1+an)/2或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2注：an=a1+(n-1)d

轉(zhuǎn)換過程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2

2、等比數(shù)列

Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)(n為比值，a為項數(shù))

你知道這兩個就證明冪級數(shù)，你學(xué)的是一點問題都沒有了。那現(xiàn)在問題是你不知道為什么要逐項求導(dǎo)和逐項積分了?

聽好了，以前初等數(shù)學(xué)就是用一些初等變換去對式子變形——比如把原式變成兩個等比或者等差數(shù)列，然后用等比等差數(shù)列求和公式求出原式的N項和。

現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)就不好搞了，就不能用一些初等變換(比如分母有理化，比如分子加一減一等等)的方式去分成幾項有規(guī)律的數(shù)列了，那么，我們現(xiàn)在怎么辦?要回到高中我們就只有求神了。

但是，當我們現(xiàn)在學(xué)了高等數(shù)學(xué)后，我們就可以通過求導(dǎo)或者積分的方式把他變成我們所了解的等比和等差數(shù)列了，那多爽，是吧!通過求導(dǎo)就回到高中!

不要去想什么逐項求導(dǎo)和逐項積分亂七八糟的，其實就是對通項求導(dǎo)或者積分。

先說求導(dǎo)：目的就是把我們不論用初等數(shù)學(xué)怎么變化都不能變成等比數(shù)列的式子變成等比數(shù)列!

注意觀察：例如：S(X)=∑(2~無窮){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1}這個式子你用高中的方法去分成幾項等比數(shù)列嘛，你一定會很悲劇的。通過觀察：求一次導(dǎo)x^(n-1)的導(dǎo)數(shù)不就是(n-1)[x^(n-2)]，分子的n-1不是可以和分母的n-1約掉啊!(注意了哈：逐項求導(dǎo)說的十分猥瑣，其實就是對∑(2~無窮){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1}求導(dǎo))

求導(dǎo)你要這樣想n是常數(shù)，X是變量，對X求導(dǎo)(其實N就是常數(shù)，我怕你搞錯了，我現(xiàn)在沒有辦法知道你的基礎(chǔ)，所以當高中生在教)。

求導(dǎo)以后的數(shù)列變成∑(2~無窮){[(-1)^n][x^(n-2)]，求了導(dǎo)之后你展開：把N=2帶進去等于1把N等于3帶進去等于(-X)把N等于4帶進去等于(X^2)把5帶進去等于(-x^3).......發(fā)現(xiàn)沒有，求導(dǎo)之后的通項居然是個q=(-x)a1=1的等比數(shù)列!那我們的目的達到了!

這個等比數(shù)列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)得：1/(1+x)|x|<1才收斂哈!不然考試不寫|x|<1要扣粉的哈!求導(dǎo)之后的通項的和我們求到了1/(1+x)|x|<1那是不是我們要積分一次才是原來的題目啊!求導(dǎo)和積分是逆運算的嘛!S(X)=S(0)+1/(1+T)求積分(從0到X)=ln(1+x)|x|<1

其實求導(dǎo)的目的就是把式子變成我們可以處理的等比數(shù)列，再求和，最后把和積分回來就對了，說的這樣深邃!

再說為什么要積分：目的還是把式子變成我們可以處理的等比數(shù)列!什么逐項積分!說的太猥瑣了，其實就是對通項積分，把式子能展開成等比數(shù)列就對了!NND不說猥瑣點難道就體現(xiàn)不出編教材的人的水平嗎?看著啊，我現(xiàn)在就按照同濟教材的立體為例子：給你玩一下：∑(1~無窮)n(x^n-1)

解：S(x)=∑(1~無窮)n(x^n-1)的和函數(shù)仔細觀察：(x^n-1)積分是不是分母出現(xiàn)了n，正好和分子的n越掉。直接對)∑(1~無窮)n(x^n-1)積分哈~~~不要考慮什么逐項積分，從此你就當沒有聽過逐項積分這種說法。

積分后就變成∑(x^n)，原式是沒有辦法處理的，但是有了這個式子之后，展開把N=(1、2、3、4。。。。)帶入就發(fā)現(xiàn)是個很標準的q=x的等比數(shù)列了。這個等比數(shù)列求和為：x/(1-x)。x/(1-x)是積分后的和哈，那要求原來的和簡單嘛，求一次導(dǎo)就對了：1/[1-x)^2]

►總結(jié)：原式我不能處理怎么辦，求導(dǎo)或者積分后變成等比數(shù)列，我求和，求完了積分或者求導(dǎo)回去就對了!

注意：不光是處理成等比數(shù)列!那是在高中!現(xiàn)在給你增加幾個數(shù)列!說白了，你只要通過求導(dǎo)或者積分后變成這些數(shù)列都是可以求和的，記得再變回去!e^x

=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...ln(1+x)=x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+...(|x|<1)sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...(-∞

求導(dǎo)或者積分后你要展開觀察是什么數(shù)列，只要是等號右邊的東西，你就直接得到他的和是等號左邊了，再記得變回去!