2019年重慶交通大學高等數(shù)學考研考試大綱

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重慶交通大學2019年全國碩士研究生招生考試

《高等數(shù)學》考試大綱

考試總體要求：

《高等數(shù)學》課程考試旨在考察學生對高等數(shù)學的基本概念、基本理論、基本方法的掌握程度。主要內(nèi)容有一元函數(shù)微積分，多元函數(shù)微積分以及級數(shù)等內(nèi)容。要求學生在《高等數(shù)學》方面具有較強運算能力、嚴謹?shù)某橄笏季S能力以及利用基本知識處理實際問題的綜合應用能力。

考試范圍

1.函數(shù)與極限

(1) 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質

(2) 函數(shù)的左極限和右極限，函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關系.

(3) 無窮小量和無窮大量的概念及其關系,無窮小量的性質及無窮小量的比較.

(4) 極限的性質及極限運算法則.

(5) 極限存在的兩個準則:單調有界準則和夾逼準則,并會利用它們求極限，利用兩個重要極限求數(shù)列極限與函數(shù)的極限.

(6) 利用等價無窮小量求極限.

(7) 函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型.

(8) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

2.導數(shù)與微分

(1) 導數(shù)和微分的概念，導數(shù)的幾何意義，求平面曲線的切線方程和法線方程，函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系.

(2) 導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則.

(3) 高階導數(shù)的概念，求初等函數(shù)的高階導數(shù).

(5) 分段函數(shù)的導數(shù)，隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).

3.微分中值定理與導數(shù)的應用

(1) 羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理.

(2) 用洛必達法則求未定式的極限.

(3) 函數(shù)的極值概念，用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)的極值，函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用.

(4) 用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線.

(5) 曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲線的曲率和曲率半徑.

4.一元函數(shù)積分學

(1)不定積分和定積分的概念.

(2)不定積分的基本公式，不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，換元積分法與分部積分法.

(3) 有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分.

(4) 積分上限的函數(shù)及其導數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式.

(5) 平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平面沿直線所做的功、水壓力.

5.向量代數(shù)和空間解析幾何

(1)向量的概念及其表示.

(2)向量的運算(線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積)，兩個向量垂直、平行的條件.

(3) 單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式， 利用坐標進行向量運算.

(4) 求平面的方程和直線的方程.

(5)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等))解決有關問題.

(6) 求點到直線以及點到平面的距離.

(7) 曲面方程和空間曲線方程的概念.

(8) 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標平面上的投影，求該投影曲線的方程.

6.多元函數(shù)微分學

(1) 多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義.

(2) 二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質.

(3)多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分形式的不變性.

(4)方向導數(shù)與梯度的概念及其計算方法.

(5) 多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法.

(6) 多元隱函數(shù)的偏導數(shù).

(7) 空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

(8) 多元函數(shù)極值和條件極值的概念，多元函數(shù)極值存在的必要條件，二元函數(shù)極值存在的充分條件，二元函數(shù)的極值，拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

7.多元函數(shù)積分學

(1) 二重積分、三重積分的概念，重積分的性質，二重積分的中值定理.

(2)二重積分的計算(直角坐標、極坐標)，三重積分的計算(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).

(3) 兩類曲線積分的概念，兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.

(4)兩類曲線積分的計算法.

(5) 格林公式,平面曲線積分與路徑無關的條件，二元函數(shù)全微分的原函數(shù).

(6) 兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，計算兩類曲面積分的方法，

(7) 用高斯公式計算曲面積分.

(8) 用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、形心、轉動慣量、引力、功及流量等).

8、無窮級數(shù)

(1) 常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，收斂級數(shù)的基本性質.

(2) 正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別法.

(3) 交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法.

(4) 任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系.

(5) 函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念.

(6) 冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

(7) 冪級數(shù)和函數(shù)的重要性質(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分)，一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和.

(8)幾類常用的基本初等函數(shù)的麥克勞林(Maclaurin)展開式，用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級數(shù).

二、考試形式與試卷結構

(一)考試形式

考試形式為筆試和閉卷，考試時間為3小時，滿分為150分。

(二)試卷結構

1. 計算題(100分)

2. 應用題(30分)

3. 證明題(20分)

三、主要參考書目

1.《高等數(shù)學》(第七版), 同濟大學數(shù)學系, 高等教育出版社, 2014年.