2019年天津理工大學(xué)803數(shù)學(xué)分析考研初試大綱

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天津理工大學(xué)2019年碩士研究生入學(xué)考試大綱

一、考試科目：數(shù)學(xué)分析(803)

二、考試方式：考試采用筆試方式�？荚嚂r(shí)間為180分鐘，試卷滿分為150分。

三、試卷結(jié)構(gòu)與分?jǐn)?shù)比重:

試卷共分為四部分

一、填空題

二、選擇題

三、計(jì)算題

四、證明題

四、考查的知識(shí)范圍:

第二章

1、數(shù)列的極限。2、函數(shù)的根限。

3、函數(shù)的連續(xù)性。4、無(wú)窮小與無(wú)窮大。

基本要求：

(1)掌握極限的定義，會(huì)用ε——N，ε—δ語(yǔ)言證明極限存在。

(2)會(huì)求極限，掌握關(guān)于極限的性質(zhì)。

(3)掌握函數(shù)連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù)的連續(xù)性，會(huì)判斷間斷點(diǎn)及類型，熟悉連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和局部性質(zhì)。

(4)會(huì)比較無(wú)窮小的階，并會(huì)使用等價(jià)無(wú)窮小求極限。

(5)熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

第三章 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理

1、實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理。

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。

基本要求：

(1)熟悉六個(gè)實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的條件與結(jié)論，這六個(gè)定理是：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限，確界原理，閉區(qū)間套定理，有界無(wú)窮數(shù)列必有收斂子列，有限覆蓋定理，cauchy收斂準(zhǔn)則。

(2)了解六個(gè)定理之間的邏輯關(guān)系。

(3)掌握函數(shù)一致連續(xù)的概念。

(4)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)使用這些性質(zhì)證明一些較簡(jiǎn)單的命題。

(5)熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明過程。

第四章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義與求導(dǎo)公式。

2、求導(dǎo)法則：

(1)四則運(yùn)算法則，(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。

(3)隱函數(shù)及參數(shù)分程表示的函數(shù)的求導(dǎo)法則。

3、高階導(dǎo)數(shù)

4、微分及其運(yùn)算

基本要求

(1)掌握導(dǎo)數(shù)，左、右導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)用左、右導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)或證明導(dǎo)數(shù)的存在。

(2)熟練掌握求導(dǎo)法則，會(huì)求導(dǎo)數(shù)，包含高階導(dǎo)數(shù)。

(3)理解導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，會(huì)求微分。

第五章 微分中值定理及其應(yīng)用

1、中值定理。2、泰勒公式。

3、函數(shù)的單調(diào)性，凸性，極值。

4、L’Hospital法則。

基本要求：

(1)掌握三個(gè)中值定理特別是拉格朗日中值定理的應(yīng)用。

(2)熟悉泰勒公式及其余項(xiàng)的兩種形式：拉格朗日余項(xiàng)和皮亞諾余項(xiàng)。

(3)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，凸性，求拐點(diǎn)。

(4)會(huì)求函數(shù)的極值，最值。

(5)會(huì)使用L’Hospital法則求極限。

第六章 不定積分

1、不定積分的概念與運(yùn)算法則。

2、不定積分的計(jì)算。

基本要求：

(1)熟練運(yùn)用積分公式。

(2)掌握換元積分法，分部積分法。

(3)掌握有理函數(shù)積分法，簡(jiǎn)單有理函數(shù)和三角有理式的積分法。

第七章 定積分

1、定積分的概念。2、定積分的可積性質(zhì)。

3、定積分的性質(zhì)。4、定積分的計(jì)算。

基本要求：

(1)掌握定積分的定義。

(2)會(huì)運(yùn)用定積分的性質(zhì)，特別是變限函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

(3)會(huì)計(jì)算定積分(N——L公式，換元積分與分部積分等)。

第八章 定積分的應(yīng)用

1、平面圖形面積的計(jì)算。

2、曲線的孤長(zhǎng)。

3、體積的計(jì)算：旋轉(zhuǎn)體， 截面面積已知。

4、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積。

5、平均值。

下冊(cè)

第九章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性和基本性質(zhì)。2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。4、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

基本要求：

(1)掌握收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和Cauchy收斂準(zhǔn)則。

(2)掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的以下的判斷法：收斂的充要條件，比較判斷法，比值判別法，根式判別法，積分判別法，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的判別法，任意級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法，掌握狄利克萊，阿貝爾判別法。

(4)了解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

第十章 廣義積分

1、無(wú)窮限的廣義積分。

2、無(wú)界函數(shù)的廣義積分。

基本要求：

(1)廣義積分的計(jì)算。

(2)掌握廣義積分收斂的判別法。

第十一章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和一致收斂。

2、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，和函數(shù)。

3、將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)。

基本要求：(1)掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的概念，會(huì)判斷一致收斂，主要是M——判別法。

(2)掌握一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的三個(gè)分析性質(zhì)：逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分、函數(shù)的連續(xù)性。

(3)會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)域。

(4)會(huì)求和函數(shù)以及將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)。

第十二章Fourier級(jí)數(shù)

1、函數(shù)展成Fourier級(jí)數(shù)。2、Fourier級(jí)數(shù)的收斂性。

基本要求：

(1)會(huì)求周期為2T的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)。

(2)會(huì)將定義于[O、T]的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)。

(3)掌握函數(shù)f(x)的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理。

第十三章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1、平面點(diǎn)集。2、多元函數(shù)的極限。

3、多元函數(shù)的連續(xù)。

基本要求：

(1)熟悉距離，鄰域，聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、開集、閉集、區(qū)域的概念。

(2)了解平面點(diǎn)集連續(xù)性定理。

(3)掌握多元函數(shù)極限的概念(主要是二元函數(shù)的極限)，熟悉重極限與累次極限的關(guān)系。

(4)熟悉多元函數(shù)連續(xù)的概念，掌握極限的運(yùn)算法則，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)。

(5)熟悉有界閉區(qū)域連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

第十四章 偏導(dǎo)數(shù)和含微分

1、偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念。

2、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的法則。

3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。

4、空間曲線的切線與法平面方程。

5、空間曲面的切平面與法線方程。

6、方向?qū)��?shù)與梯度。

基本要求：

(1)會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)。

(2)掌握隱函數(shù)(一個(gè)方程，兩個(gè)方程)的求導(dǎo)法則。

(3)會(huì)求空間曲線的切線法平面方程�？臻g曲面的切面與法線方程。

(4)會(huì)求方向?qū)��?shù)和梯度。

第十五章 極值

1、極值與最值的求法。

2、條件極值的求法(拉格朗日乘子法)。

第十六章 隱函數(shù)存在定理

1、隱函數(shù)存在定理。2、函數(shù)行列式的性質(zhì)。

基本要求：

(1)掌握隱函數(shù)(一個(gè)方程，多個(gè)方程)存在定理的條件與結(jié)論。

(2)熟悉函數(shù)行列式的性質(zhì)。

第十七、十八章 含參變量的積分

1、含參變量的定積分。

2、含參變量的無(wú)窮限積分。

3、含參變量的無(wú)界函數(shù)的積分。

基本要求：

(1)掌握含參量定積分的分析性質(zhì)。

(2)掌握含參變量廣義積分的一致收斂性的概念，一致收斂性的判別法，主要是控制收斂定理即魏爾斯特拉斯判別法。

(3)掌握一致收斂積分的分析性質(zhì)，連續(xù)性、積分號(hào)下求導(dǎo)，積分號(hào)下積分。

第十九章 重積分，第一類曲線積分，第一類曲面積分的定義與性質(zhì)

基本要求：

(1)掌握二重，三重積分，第一類曲線積分和曲面積分的定義。

(2)理解重積分的幾何意義，第一類曲線積分和曲面積分的物理意義。

(3)掌握以上三種積分的性質(zhì)。

第二十章 重積分的計(jì)算及應(yīng)用

1、二重、三重積分化為累次積分法。

2、二重積分、三重積分的換元積分法。

基本要求：

(1)掌握二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分的方法。

(2)掌握二重積分的極坐標(biāo)變換，三重積分球面坐標(biāo)變換的積分法。

(3)了解二重積分、三重積分的一般變換的積分方法。

第二十一章 曲線積分與曲面積分的計(jì)算

1、第一類曲線積分，曲面積分的計(jì)算。

2、第二類曲線積分的定義與計(jì)算。

3、第二類曲面積分的定義與計(jì)算。

4、兩類曲線積分，兩類曲面積分之間的關(guān)系。

第二十二章 各種積分之間的關(guān)系

1、格林公式。2、奧高公式。3、曲線積分與路徑的關(guān)系。

基本要示：

(1)掌握以上主要公式的應(yīng)用。

(2)掌握曲線積分與路徑的關(guān)系的條件。

考試內(nèi)容基本要求：

1、 計(jì)算方面

(1)會(huì)求極限(2)會(huì)求導(dǎo)數(shù)，含偏導(dǎo)和高階導(dǎo)數(shù)，方向?qū)��?shù)，梯度。(3)會(huì)求積分(含不定積分，定積分、廣義積分、重積分、曲線積分、曲面積分)(4)會(huì)求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和與收斂區(qū)間，會(huì)將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)或Fourier級(jí)數(shù)。

2、證明方面

(1)用ε——N，ε—δ語(yǔ)言證明極限或函數(shù)的連續(xù)性。

(2)會(huì)運(yùn)用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)(含閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)和極限性質(zhì)如局部有界性，保號(hào)性或保序性等)以及函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，證明有關(guān)命題。

(3)會(huì)用微分中值定理和定積分性質(zhì)證明有關(guān)命題。

(4)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，含參變量積分(廣義)的一致收斂性的證明，以及運(yùn)用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，含參變量積分一致收斂的分析性質(zhì)證明有關(guān)命題，熟練掌握冪級(jí)數(shù)“內(nèi)閉一致收斂”性質(zhì)。

(6)熟練掌握一致連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用。

(7)會(huì)應(yīng)用極限存在的法則(單調(diào)有界原理，Cauchy收斂準(zhǔn)則，夾逼法則，致密性定理等)

3、判斷方面

(1)會(huì)判斷數(shù)值級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)的收斂性。

(2)會(huì)判斷廣義積分的收斂性。

4、應(yīng)用方面

(1)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：函數(shù)的單調(diào)性，凸性、極值、不等式。

(2)積分(含重積分)的應(yīng)用：面積，體積、弧長(zhǎng)、曲面面積。