2021年南京航空航天大學(xué)580數(shù)學(xué)綜合考研大綱

參考書目

數(shù)值分析：《數(shù)值分析》(第五版)李慶揚等編，清華大學(xué)出版社

常微分方程：《常微分方程》(第三版)王高雄編，高等教育出版社

數(shù)學(xué)綜合(數(shù)值分析和常微分方程各占1/2)

考試大綱

I. 數(shù)值分析

1)緒論

誤差的基本概念，穩(wěn)定性，收斂性及相容性;

2)插值法

插值多項式的存在唯一性，拉格朗日插值、牛頓插值及三次樣條插值多項式;

3)函數(shù)逼近與計算

最佳一次逼近、最佳平方逼近多項式，曲線擬和的最小二乘法;

4)數(shù)值積分

梯形公式，辛普生公式，柯特斯公式及相應(yīng)的復(fù)化求積公式，龍貝格公式;

5)方程求根

二分法，一般迭代法，牛頓迭代法，弦截法，迭代法的收斂性

6)線性方程組的求解方法

高斯(主元)消去法，向量和矩陣的范數(shù)，矩陣的條件數(shù)，誤差分析，雅克比迭代法，高斯-塞德爾迭代法，迭代法的收斂性;

7)常微分方程的數(shù)值解法

改進(jìn)的歐拉公式，龍格-庫塔公式及二階龍格-庫塔公式精度分析，單步法的收斂性和穩(wěn)定性。

II. 常微分方程

《常微分方程》是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課，也是常微分方程學(xué)科本身近現(xiàn)代發(fā)展方向的基礎(chǔ)。考試以經(jīng)典傳統(tǒng)內(nèi)容為主要部分，也包括穩(wěn)定性理論問題中的重要內(nèi)容。

具體涉及

1)一階常微分方程的初等解法：分離變量法;常數(shù)變易法;積分因子法等。

2)一階常微分方程解的存在唯一性定理，近似計算和誤差估計等。

3)高階常微分方程：常系數(shù)微分方程的解法;非齊次線性微分方程拉普拉斯法，高階微分方程的降階解法等。

4)線性常微分方程組：線性微分方程組的存在唯一性定理;常系數(shù)線性微分方程組的求解等。

5)非線性常微分方程和穩(wěn)定性：穩(wěn)定性的基本概念;相平面;非線性微分方程組的穩(wěn)定性與其線性近似方程組;李雅普諾夫第二方法等