2016考研數(shù)學(xué)：如何理解可導(dǎo)與可微？

• 2025考研復(fù)試伴學(xué)班
• 2025考研復(fù)試標(biāo)準(zhǔn)班
• 2026考研英語全程班
• 26考研全科上岸規(guī)劃營「擇校▪規(guī)劃▪備考」
• 2025考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

在學(xué)習(xí)了函數(shù)、極限以及函數(shù)連續(xù)性的概念之后，我們開始進(jìn)入一元函數(shù)微分學(xué)模塊的學(xué)習(xí)內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)又叫微積分，可見微分學(xué)在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中所占的重要地位。這一大塊的內(nèi)容我們按照以下四部分進(jìn)行展開學(xué)習(xí)，可導(dǎo)與可微，導(dǎo)數(shù)的計算，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及中間穿插著學(xué)習(xí)中值定理。每接觸一個新的模塊，我們首先應(yīng)該理解概念。在這里我們需要理解什么是可導(dǎo)什么是可微。

首先通過導(dǎo)數(shù)的兩個實際背景，包括幾何(切線斜率)和物理(速度或者擴(kuò)展為變化率)背景去理解導(dǎo)數(shù)的定義。大家會發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是極限。極限是高等數(shù)學(xué)中處理問題的一個核心思想。那么有關(guān)極限的性質(zhì)就可以拿來刻畫導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，例如左右導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)存在的充要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。類似函數(shù)連續(xù)的定義，從某點(diǎn)連續(xù)擴(kuò)展到區(qū)間連續(xù)，我們也可以定義函數(shù)在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且有了左右導(dǎo)數(shù)，我們可以繼續(xù)定義函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)。由此得出導(dǎo)函數(shù)的概念。這里需要大家注意，導(dǎo)函數(shù)也是一種函數(shù)，所有用來研究函數(shù)的性質(zhì)和工具同樣可以研究導(dǎo)函數(shù)，例如對導(dǎo)函數(shù)求極限、研究導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性等。導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們稱為高階導(dǎo)數(shù)。以上是關(guān)于對導(dǎo)數(shù)定義的理解。

現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的兩個性質(zhì)：連續(xù)性和可導(dǎo)性。那么這兩者之間有什么關(guān)系呢?大家都知道這個定理：可導(dǎo)必連續(xù)。也就是題目中給出函數(shù)可導(dǎo)的條件，就隱含著告訴我們函數(shù)連續(xù)，關(guān)于這個知識點(diǎn)一般考察分段函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，求參數(shù)取值，我們通常先討論函數(shù)連續(xù)性，再討論可導(dǎo)性。因為通過討論連續(xù)性一般可以求出其中一個參數(shù)取值，方便后續(xù)可導(dǎo)性的討論。比如下面這個例題