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圖書簡介

本書介紹了微分拓?fù)洹⑽⒎謳缀我约拔⒎址匠痰幕�本概念。本書的基本思想源于作者早期的《微分和黎曼流形》，但重點(diǎn)卻從流形的一般理論轉(zhuǎn)移到微分幾何，增加了不少新的章節(jié)。這些新的知識為Banach和Hilbert空間上的無限維流形做準(zhǔn)備，但一點(diǎn)都不覺得多余，而優(yōu)美的證明也讓讀者受益不淺。在有限維的例子中，討論了高維微分形式，繼而介紹了Stokes定理和一些在微分和黎曼情形下的應(yīng)用。給出了Laplacian基本公式，展示了其在浸入和浸沒中的特征。書中講述了該領(lǐng)域的一些主要基本理論，如：微分方程的存在定理、唯一性、光滑定理和向量域流，包括子流形管狀鄰域的存在性的向量叢基本理論，微積分形式，包括經(jīng)典2-形式的辛流形基本觀點(diǎn)，黎曼和偽黎曼流形協(xié)變導(dǎo)數(shù)以及其在指數(shù)映射中的應(yīng)用，Cartan-Hadamard定理和變分微積分第一基本定理。目次：（第一部分）一般微分方程；微積分；流形；向量叢；向量域和微分方程；向量域和微分形式運(yùn)算；Frobenius定理；（第二部分）矩陣、協(xié)變導(dǎo)數(shù)和黎曼幾何：矩陣；協(xié)變導(dǎo)數(shù)和測地線；曲率；二重切線叢的張量分裂；曲率和變分公式；半負(fù)曲率例子；自同構(gòu)和對稱；浸入和浸沒；（第三部分）體積形式和積分：體積形式；微分形式的積分；Stokes定理；Stokes定理的應(yīng)用；譜理論。
目錄
Foreword
Acknowledgments
PART Ⅰ General Differential Theory
　CHAPTER Ⅱ Differential Calculus
　　1.Categories
　　2.Topological Vector Spaces
　　3.Derivatives and Composition of Maps
　　4.Integration and Taylor's Formula
　　5.The Inverse Mapping Theorem
　CHAPTER Ⅱ Manifolds
　　1.Atlases, Charts, Morphisms
　　2.Submanifolds, Immersions, Submersions
　　3.Partitions of Unity
　　4.Manifolds with Boundary
　CHAPTER Ⅲ Vector Bundles
　　1.Definition, Pull Backs
　　2.The Tangent Bundle
　　3.Exact Sequences of Bundles
　　4.Operations on Vector Bundles
　　5.Splitting of Vector Bundles
　CHAPTER Ⅳ Vector Fields and Differential Equations
　　1.Existence Theorem for Differential Equations
　　2.Vector Fields, Curves, and Flows
　　3.Sprays
　　4.The Flow of a Spray and the Exponential Map
　　5.Existence of Tubular Neighborhoods
　　6.Uniqueness of Tubular Neighborhoods
　CHAPTER Ⅴ Operations on Vector Fields and Differential Forms
　　1.Vector Fields, Differential Operators, Brackets
　　2.Lie Derivative
　　3.Exterior Derivative
　　4.The Poincare Lemma.
　　5.Contractions and Lie Derivative
　　6.Vector Fields and l-Forms Under Self Duality
　　7.The Canonical 2-Form
　　8.Darboux's Theorem
　CHAPTER Ⅵ The Theorem ol Frobenius
　　1.Statement of the Theorem
　　2.Differential Equations Depending on a Parameter
　　3.Proof of the Theorem
　　4.The Global Formulation
　　5.Lie Groups and Subgroups
PART Ⅱ Metrics, Covariant Derivatives, and Riemannian Geometry
　CHAPTER Ⅶ Metrics
　　1.Definition and Functoriality
　　2.The Hilbert Group
　　3.Reduction to the Hiibert Group
　　4.Hilbertian Tubular Neighborhoods
　　5.The Morse-Palais Lemma
　　6.The Riemannian Distance
　　7.The Canonical Spray
　CHAPTER Ⅷ Covarlent Derivatives and Geodesics
　　1.Basic Properties
　　2.Sprays and Covariant Derivatives
　　3.Derivative Along a Curve and Parallelism
　　4.The Metric Derivative
　　5.More Local Results on the Exponential Map
　　6.Riemannian Geodesic Length and Completeness
　CHAPTER Ⅸ curvature
　　1.The Riemann Tensor
　　2.Jacobi Lifts.
　　3.Application of Jacobi Lifts to Texp
　　4.Convexity Theorems.
　　5.Taylor Expansions
PART Ⅲ Volume Forms and Integration
Index

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